Ценообразование опционов: считаем по-новому

Модель Блэка–Шоулза (Black–Scholes Option Pricing Model)

Цены опционных контрактов в модели Блэка–Шоулза[1] определяются как разница между ожидаемым курсом базисного актива и дисконтированной ожидаемой ценой исполнения. Стоимость европейских опционов колл и пут может быть найдена с помощью следующих выражений соответственно:

где

X — текущая стоимость базового актива;

S — цена исполнения опциона (страйк);

 — текущая волатильность базисного актива;

r — безрисковая процентная ставка;

N() — функция вероятности стандартного нормального распределения;

T – t — время жизни опциона (период опциона), в данном случае t = 0.

Оценка стоимости европейского опциона колл

В общем случае цена опциона — это дисконтированное математическое ожидание выплат по опциону на горизонте прогнозирования. В таком случае стоимость европейского опциона колл в момент времени t может быть выражена следующей формулой:

где  — условное математическое ожидание стоимости базового актива, если его стоимость превысит цену исполнения;

S — цена исполнения опциона (страйк);

 — вероятность непревышения стоимостью базового актива цены исполнения опциона;

r — безрисковая процентная ставка;

T – t — время жизни опциона (период опциона), в данном случае t = 0.

Условное математическое ожидание стоимости базового актива в случае превышения цены исполнения опциона с учетом того, что изменение цены подчиняется закону логнормального распределения, может быть найдено с помощью следующего выражения:

где X — текущая стоимость базового актива;

 — математическое ожидание темпа роста базового актива на горизонте прогноза с учетом усечения исходного распределения темпов роста слева по границе

 — ожидаемая волатильность на горизонте прогноза с учетом усечения исходного распределения темпов роста слева по границе

В общем случае математическое ожидание и дисперсия усеченного нормального распределения могут быть найдены с помощью следующих формул соответственно:

(1)

(2)

где  — темп роста...