Метод Монте-Карло: генераторы случайных последовательностей

В настоящее время все чаще возникает потребность учесть различные виды риска при принятии решения об экономической целесо­образности совершения той или иной сделки. Одной из главных особенностей современных систем управления и контроля рисков является управление риском на портфельном уровне. Сделки могут быть взаимосвязаны между собой и зависеть от одних и тех же факторов. Например, кредитная организация может взять валютный кредит и решить хеджировать валютный риск с помощью произ­водного финансового инструмента (ПФИ) — валютного свопа.

По ПФИ необходимо рассчитывать целый ряд надбавок, называемых часто xVA, например таких, как:

— CVA (Credit Valuation Adjustment) — надбавка за кредитный риск контрагента;

— DVA (Debit Valuation Adjustment) — надбавка за собственный кредитный риск;

— FVA (Funding Valuation Adjustment) — надбавка, отражающая стоимость фондирования.

Часть из этих надбавок является корректировкой справедливой стоимости ПФИ. Однако регуляторы разных стран требуют также учитывать дополнительные надбавки при расчете собственного капитала. Например, европейский регулятор требует рассчитывать AVA (Additional Valuation Adjustment) — дополнительную надбавку, отражающую риск с точки зрения его влияния на акционеров и акционерный капитал.

Очень редко для подобного рода задач известно аналитическое решение. В основном они решаются с применением численных методов, самым популярным из которых является метод Монте-Карло.

Задачи финансовой математики, и в частности задачи расчета корректировок справедливой стоимости xVA, часто сводятся к оценке интегралов. Обычно, задавая динамику факторов и комбинируя портфели инструментов, составляют систему дифференциальных уравнений, которую благодаря применению формулы Фейнмана–Каца (Feynman–Kac) можно решить путем вычисления математического ожидания случайной величины (в общем случае многомерной), определенной на некотором вероятностном пространстве. Расчет математического ожидания можно свести к вычислению интеграла. Метод Монте-Карло очень хорошо зарекомендовал себя для решения подобного рода задач, особенно в случае высокой размерности.

Размерность зависит от конкретной задачи. Например, для расчета xVA моделируется распределение риск-факторов в каждый момент времени на протяжении срока сделки или портфеля сделок. Суммарная размерность такой задачи будет соответствовать произведению количества моделируемых риск-факторов (ставки, курсы валют, товары и т.д.) на количество временных шагов, на которые разбивается период моделирования. Размерность растет при увеличении количества факторов или количества точек во времени, в которые происходит моделирование. Для того чтобы снизить размерность, иногда меняют частоту шагов моделирования по времени. Например, в первый месяц строят ежедневные симуляции, далее — еженедельные, а начиная с какого-то горизонта — ежемесячные или квартальные. Также размерность можно понижать за счет объединения риск-факторов в кластеры и моделирования динамики только одного фактора на кластер или за счет вычленения главных компонент (principal components), которые максимально обусловливают динамику всего кластера. Но даже при этом размерность может расти очень быстро.

В предыдущих выпусках журнала[2] уже делался обзор как основ метода Монте-Карло с вариантами его применения, так и подходов к воспроизведению различных распределений. Но, как было показано, основой для испытаний почти всегда служит возможность получать независимые равномерно распределенные...