Оценка и хеджирование процентных опционов, встроенных в продукты банка

     Напомним сначала значение слова «опцион». Опцион (дословно с английского) — право. Право, но не обязанность одной стороны войти в какую-либо сделку (или выйти из нее) на заранее оговоренных условиях и обязанность другой стороны заключить такую сделку в случае требования первой.
     К продуктам со встроенной опциональностью можно отнести кредиты с правом досрочного погашения, пополняемые депозиты, депозиты с правом досрочного изъятия, облигации с офертой (когда ставка купона после оферты определена) и др.
     Реализация опциональности, встречающейся в продуктах с фиксированной доходностью, может приводить к снижению ликвидности, возникновению дисбаланса в структуре активов и пассивов банка, существенным финансовым потерям.

Процентные опционы
Большая часть продуктов со встроенной опциональностью, например кредит с правом досрочного погашения, может быть представлена с использованием базового продукта (кредит без такого права) и опциона.
     Рассмотрим данный продукт с позиции заемщика. Предположим, что заемщик имеет возможность фондироваться с использованием коротких займов, привязанных к постоянно изменяющейся текущей рыночной ставке (LIBOR, MosPrime и др.), но, опасаясь изменения рыночных ставок, он берет кредит на время T, тем самым фиксируя для себя стоимость заимствований на этот период.
     В качестве альтернативы использованию длинного кредита заемщик может продолжать кредитоваться короткими займами и заключить сделку своп.
     Процентный своп — контракт, подразумевающий обмен процентными платежами на заранее определенную сумму в заранее определенные даты. При этом одной из сторон платится фиксированный процент:

где N — номинал;
ti — периодичность выплаты в долях года;
K — фиксированная процентная ставка.
Другая же сторона выплачивает платежи, зависящие от плавающей ставки:

где L(T_i-1, T_i) — ставка на период времени τ_i, определенная в момент времени T_i–1.

     Здесь и далее определения даются в соответствии с [2]. Стоит заметить, что согласно данной трактовке в момент времени T_i происходят выплаты по ставке, определенной в момент T_i–1, что может показаться странным, однако обусловлено тем, что в такой трактовке повторяются выплаты по кредиту, взятому в момент T_i–1 на период t_i по ставке L(T_i–1,T_i).
     Рыночные конвенции отличаются от данного определения. Выплаты по фиксированной и плавающей ногам свопа могут производиться с разной периодичностью (например, ежеквартально — плавающие и раз в полгода — фиксированные).
     Таким образом, одна из сторон в сделке своп — плательщик (payer) — независимо от ситуации периодически платит заранее определенную сумму. Другая сторона — получатель (receiver) — получает постоянные платежи; ее же платежи зависят от реализовавшейся на рынке конъюнктуры.
     Естественно, выплачивается лишь разница между суммами платежей двух сторон.
     Дисконтированная стоимость процентного свопа для его покупателя может быть выражена следующим образом:

     (1)

 Справедливой стоимостью процентного свопа, то есть таким значением K, которое делает выражение равным нулю, является:

     (2)

      Итак, заемщик, финансирующийся короткими кредитами, застраховался от роста ставок, заключив сделку своп. Его позиция эквивалентна позиции заемщика, взявшего кредит на период времени T по постоянной ставке. С другой стороны, в случае падения ставок заемщику будет невыгодно платить высокие постоянные процентные платежи. В какой-то ситуации он предпочел бы выйти из этой сделки, досрочно погасить кредит по высокой ставке, а далее продолжить финансироваться короткими кредитами либо заключить новый договор по понизившейся ставке на остаток срока (вопрос выбора момента для выхода из сделки, то есть исполнения опциона, будет рассмотрен ниже).
     Таким образом, заемщик, имеющий право на досрочное погашение кредита, является обладателем опциона на своп — свопциона получателя (receiver swaption). Обладатель такого опциона имеет право войти в сделку своп, став получателем постоянных процентных платежей и платя по плавающей ставке (т.е. имеет право на заключение обратной сделки к уже им заключенной).
Обладатель свопциона получателя получает выгоду от снижения процентных ставок по аналогии с обладателем опциона пут на акции.
     По аналогии с опционом колл на акции может быть введен свопцион плательщика (payer swaption). Обладатель такого опциона имеет право войти в сделку своп, платя постоянные процентные платежи и получая платежи, индексируемые по плавающей ставке.
     Отметим, что свопцион может иметь как одну, так и несколько дат исполнения, повторяя тем самым кредит, который может быть погашен досрочно в любой момент времени. Свопцион с несколькими возможными датами исполнения называется бермудским (bermudan swaption). При этом можно сказать, что у опциона меняется базовый актив. Например, покупатель 10 ? 1 бермудского свопциона сможет в одну из возможных дат исполнения заключить:
     — при исполнении опциона через год — 10-летний своп;
     — при исполнении опциона через два года — 9-летний своп;
     — …
     — при исполнении опциона через 10 лет — 1-летний своп.
     Таким образом, продолжительность базового свопа меняется, но дата его окончания и страйк остаются постоянными.
     Стоимость европейского свопциона покупателя может быть записана следующим образом:

     (3)

где

— стоимость базового свопа в момент экспирации свопциона.
Стоит также ввести такой опцион, как кэп. Его дисконтированная стоимость составляет

     Как можно видеть, он аналогичен свопу (1), но обмен платежами в нем происходит только в случае, если каждый отдельный платеж имеет положительное значение для покупателя. Его отличие от свопциона заключается в том, что он состоит из портфеля опционов — кэплетов, каждый из которых является опционом на форвардную ставку. Свопцион же по сути является опционом на портфель из форвардных ставок.
     В таблице приведены основные типы банковских продуктов, содержащих опционы.

Таблица

Модели динамики процентных ставок
Описанные выше опционы могут быть оценены с использованием множества существующих на настоящий момент моделей динамики процентных ставок. Их разнообразие вызвано как неопределенностью причин и правил изменения процентных ставок, так и множеством имеющихся на рынке инструментов. Разные модели используются для оценки различных типов инструментов и отнюдь не всегда согласуются между собой. Более того, предположения, на которых построены эти модели, порой остаются весьма сомнительными, равно как и их аналитическая трактуемость.
     Большее количество факторов неопределенности в моделях делает возможной более точную калибровку под существующие инструменты, но снижает их стабильность.
     Качественная калибровка большинства моделей, как правило, возможна только при наличии котировок на процентные деривативы (кэпы, свопционы), часть же наиболее простых моделей может быть откалибрована по историческим данным.
     Большая часть результатов, касающихся сравнительного тестирования моделей в целях хеджирования, носит весьма субъективный характер: планы эмпирических исследований различны, их результаты сильно разнятся между рынками и историческими отрезками, на которых модели тестировались. Вывод о превосходстве какой-то одной модели сделать сложно.
     Нет однозначного мнения и о превосходстве качества хеджирования с использованием сложных многофакторных моделей над базовыми.
     В данной статье используются базовые однофакторные модели краткосрочной процентной ставки (short-rate model) Халла–Уайта (Hull–White) и Блэка–Карасинского (Black–Karasinski), для которых возможна калибровка по исторической динамике процентных ставок.

Модель Халла–Уайта (HW)
Дж. Халлом и А. Уайтом была предложена модель динамики процентных ставок, совместимая с их текущей временной структурой. Все ставки в модели Халла–Уайта нормально распределены. Модель часто используется благодаря своей простоте и наличию аналитических выражений для основных продуктов.
В модели Халла–Уайта процесс изменения краткосрочной процентной ставки r имеет вид: 

     (4)

      Функция Θ(t) выбирается таким образом, чтобы модель была совместима с текущей временной структурой процентных ставок. a и s могут являться детерминированными функциями времени, но нами используются как константы. s определяет временную структуру волатильности или постоянный уровень волатильности. Параметр a характеризует скорость возврата процесса к среднему значению и относительные волатильности длинных и коротких ставок. Высокое значение параметра a ведет к более быстрому возврату процесса к среднему и меньшей волатильности длинных ставок. Параметр Θ(t) может быть аналитически вычислен как 

     (5)

где F(0, t) — мгновенная форвардная ставка в момент 0 для времени t;
F'(0, t) — ее производная по t.

     Недостатком модели является теоретическая допустимость в ней отрицательных процентных ставок. В вычислениях с ней, как правило, борются ограничением дерева, изменением волатильности в зависимости от ставок и изменением параметра возврата к среднему.

Модель Блэка–Карасинского (BK)
В модели Блэка–Карасинского динамика краткосрочной процентной ставки описывается выражением: 

     (6)

Достоинством данной модели относительно модели Халла–Уайта является невозможность возникновения в ней отрицательных ставок: они имеют логнормальное распределение.

Оценка деривативов в моделях HW и BK
В вышеназванных моделях есть большое количество аналитических выражений для различных продуктов, тем не менее при оценке бермудских свопционов и более общих деривативов мы будем использовать триномиальные деревья.

Построение триномиальных деревьев
Обе модели могут быть переписаны в виде: 

     (7)

Эта модель известна как обобщенная модель Халла–Уайта (generalized Hull–White model). Когда f(r)=r, данная модель становится моделью Халла–Уайта, когда f(r)=lnr, модель становится моделью Блэка–Карасинского.
Положим x=f(r), таким образом: 

     (8) 

     Изначально построим дерево для x, положив Θ(t)=0 и x₀. Пусть Δ t — шаг времени и kΔ x — вершины дерева, где k — целое число. Для этого процесса x(t+Δ t)-x(t) распределено нормально. Вероятности перехода в верхнюю, среднюю и нижнюю вершины дерева из каждой данной вершины могут быть записаны с использованием M и V — среднего и дисперсии x(t+Δ t)-x(t) и k — расстояния от текущей вершины до центральной. Выбор вершин дерева, ограничение ветвления дерева с целью упрощения алгоритма и избежания отрицательных ставок обсуждаются в статьях Дж. Халла и А. Уайта [6, 7].
     Когда дерево для x построено, его вершины в момент времени iΔ t смещаются на величину α _i, устанавливаемую так, чтобы обеспечить соответствие первоначальной временной структуре процентных ставок. Алгоритм подбора также имеется в работе [6].
     Для свопов, свопционов и других процентных деривативов их текущая стоимость может быть рассчитана как дисконтированная средняя стоимость на следующем шаге: 

     (9) 

где p_u, p_m и p_d — вероятности перехода в верхнюю, среднюю и нижнюю вершины из вершины (i, j).

Если i+1 — дата выплат, стоимость свопа в вершине (i, j) равна 

     (10)

и равна выражению (9) в противном случае. В данном случае подразумевается, что частота выплат по фиксированной и плавающей ногам совпадает.
     Стоимость свопциона в момент экспирации i равна ω _{(i, j)}=max(ν _{(i, j)}, 0), то есть максимуму между текущей стоимостью базового свопа и нулем. Для бермудского же свопциона его стоимость в возможные моменты экспирации устанавливается как ν_{(i, j)}=max(ν _{(i, j)}, p_uν _{(i+1, j+1)}+p_mν _{(i+1, j)}+p_dν _{(i+1, j-1)}) то есть максимум между текущей стоимостью базового свопа и дисконтированной стоимостью опциона на следующем шаге.

     Дерево, естественно, должно быть построено таким образом, чтобы его вершины включали все даты ресетов и возможных экспираций.
     Граница, определяющая вершины, на которых целесообразно исполнение опциона, для данной модели может быть рассчитана численно. Примерный вид подобной границы, рассчитанной с использованием биномиального дерева, для модели Блэка–Карасинского приведен на рис. 1.

Рисунок 1

Хеджирование опционов на процентные ставки
Вероятно, у читателя могут возникнуть мысли о затруднительности хеджирования рисков, создаваемых обсуждаемыми опционами, в связи с неликвидностью подобных опционов, номинированных в рублях. Концепция дельта-хеджирования может быть использована и здесь. При этом хеджирование может проводиться не только традиционно базовым активом, но и другим инструментом или набором инструментов, чувствительных к изменению процентных ставок.
     В отличие от опционов на акции в данной задаче встают вопросы: от чувствительности к какому изменению процентных ставок проводить хеджирование и как именно меняются процентные ставки? Наиболее часто хеджирование проводится лишь от параллельного сдвига бескупонной кривой.
     Как было показано Р. Литтерманом и Дж. Шейнкманом [9], а затем неоднократно перепроверено для самых различных рынков, порядка 80% вариации бескупонной кривой может быть объяснено изменением одного фактора (компоненты). Это изменение, как правило, трактуется как параллельный сдвиг кривой: при изменении этой компоненты ставки любой срочности растут примерно на одну и ту же величину.
     Не останавливаясь на подробностях реализации метода, скажем, что более 99% изменений бескупонной кривой, как правило, может быть объяснено изменением трех факторов. Вторая компонента обычно трактуется как ответственная за изменение наклона бескупонной кривой, третья — как ответственная за изменение ее выпуклости.
     Метод главных компонент (principal component analysis, PCA) позволяет выявить влияние этих факторов на изменение ставок на разных участках бескупонной кривой.
     На рис. 2 показан примерный вид нагрузок первых трех главных компонент в зависимости от срочности.
     Таким образом, обоснованность хеджирования только параллельного сдвига кривой вполне объяснима.

Рисунок 1

     В то же время задача хеджирования свопциона от изменения процентных ставок может быть поставлена в более общем виде. Векторы нагрузок первых трех главных компонент могут быть использованы для вычисления сдвига бескупонной кривой под воздействием каждой из них. С использованием сдвинутых кривых могут быть посчитаны чувствительности цены свопциона к каждому из факторов.
Например, чувствительность свопциона к изменению k-й компоненты может быть рассчитана следующим образом: 

     (11)

     Здесь цены свопциона для возмущенной временной структуры процентных ставок BSωn⁺_k и BSωn^-_k могут быть легко рассчитаны численно в моделях HW и BK.
     Стоит заметить, что чувствительность зависит от величины сдвигов бескупонных кривых. Метод главных компонент помогает увидеть относительные изменения точек на кривой при изменении фактора, но анализ размаха этих изменений должен проводиться отдельно. С использованием данного способа можно получить как чувствительность в малой окрестности текущего состояния кривой, так и чувствительность при больших ее изменениях, что особенно важно при редкой ребалансировке хеджирующего портфеля.
     Выбор инструментов хеджирования A_i и их количества x_i может быть сделан, например, исходя из соображений минимизации суммарной дельты портфеля:

     (12)

где 

     (13)

Здесь Δⁱ_k — чувствительность i-го инструмента хеджирования к изменению k-го фактора.
Чувствительности же инструментов хеджирования к изменению факторов могут быть рассчитаны численно или аналитически: 

     (14)  

     Стоит заметить, что сумма может быть взвешена так, чтобы придавать наибольший вес наиболее значимым в изменении кривой факторам, учитывать стоимость хеджирования вместе с его точностью.
Подходы к периодичности ребалансировок при хеджировании процентных опционов существенно различаются в различных источниках: от статического хеджирования в течение года [8] (на практике означает однократное принятие решения о структуре активов и пассивов) до хеджирования примерно раз в две недели [10] при активной торговле процентными производными. В западной литературе существует множество результатов тестирований с выбором различных хеджирующих инструментов (портфелей европейских свопционов, хеджирующих бермудский, портфелей возможных базовых свопов и т.п.).
     Ниже приведены результаты хеджирования проданного 10*1 бермудского свопциона в модели Халла–Уайта с использованием 3-летнего свопа. Причиной такого выбора послужило то, что такой свопцион является приближением права досрочного погашения в ипотечном кредите. Выбор же короткого свопа связан с невозможностью привлечения длинных денег для фондирования ипотеки и необходимостью хеджирования процентного риска в портфеле активов и пассивов, имеющих разную срочность. В реальности хеджирование может проводиться с использованием доступных инструментов, чувствительных к изменению процентных ставок.
     Хеджирование проводилось только от параллельного сдвига бескупонной кривой. Порядок хеджирования во многом повторяет указанный в работе [8]. При хеджировании использовались данные за 2007–2011 гг. В даты с 2007 по 2011 гг. предполагался проданным 10*1 бермудский свопцион на деньгах, рассчитывалась его чувствительность к параллельному сдвигу ставок, опцион хеджировался 3-летним свопом. В течение года ребалансировок портфеля не проводилось, через год PL свопциона сравнивался с PL хеджирующего свопа.
Динамика трехмесячной рублевой ставки MosPrime за период хеджирования для справки приведена на рис. 3.

Рисунок 3

     Рисунки 4 и 5 отображают PL проданного свопциона на своп с единичным номиналом, PL хеджирующего свопа и общий PL портфеля. Также на них изображено абсолютное изменение 3-месячной ставки MosPrime за последний год (с даты формирования портфеля по дату расчета результатов хеджа).
     Можно видеть, что даже при составлении столь простого алгоритма хеджирования результат захеджированного портфеля был гораздо стабильнее результата непокрытого опциона. Можно признать удовлетворительным хеджирование даже сильнейшего изменения ставок 2008–2009 гг. На столь значительном движении рынка применение статического хеджирования существенно улучшило результат. Увеличение частоты хеджирования могло дать лучший результат, однако, вспомнив реальную рыночную ситуацию на тот момент, можно усомниться в его реализуемости.
     Приведем также график с ошибкой хеджирования в процентах от первоначальной стоимости портфеля (рис. 6). С точки зрения оценки качества хеджирования плохими могут считаться отклонения от нуля в обе стороны.

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

     Здесь была проведена оценка результатов хеджирования с использованием двух предположений о волатильности в модели Халла–Уайта: σ = 0,02, что соответствует докризисному уровню волатильности, и σ = 0,066, что примерно соответствует уровню волатильности за 2007–2009 гг.
     Оценка опционов и на начальную, и на конечную даты проводилась по модели с использованием одного и того же предположения о волатильности. Оно же использовалось для оценки чувствительности опционов к изменению ставок. Сильные расхождения в результатах обусловлены тем, что в оценке стоимости опционов мы полностью опираемся на модель как на начальную, так и на конечную дату.
     В случае со свопционом получателя, продавец которого несет потери при снижении ставок, которое с нынешних уровней обычно происходит не так быстро, как рост, использование повышенной волатильности выглядит нецелесообразным.